음 이항 분포: 성공 횟수를 기다리는 확률적 여정

음이항 분포와 기하 분포: 성공을 향한 여정

이항 분포를 아시나요? 특정 횟수의 시행에서 성공할 확률을 계산하는 데 유용한 도구죠. 예를 들어, 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 5번 나올 확률을 계산할 수 있습니다.

하지만 이항 분포는 성공 횟수가 정해져 있을 때 유용합니다. 그렇다면 성공 횟수가 아니라 성공을 얻기 위해 필요한 시행 횟수를 알고 싶다면 어떨까요? 바로 음이항 분포가 빛을 발하는 순간입니다!

음이항 분포는 성공 확률이 *p*인 독립적인 시행을 여러 번 반복할 때, r번째 성공을 얻기 위해 필요한 시행 횟수를 나타내는 확률 분포입니다. 마치 성공이라는 목표를 향해 꾸준히 나아가는 여정처럼 말이죠.

음이항 분포를 좀 더 자세히 살펴볼까요?

성공 확률 (p): 각 시행에서 성공할 확률을 의미합니다. 예를 들어, 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 0.5라면, 성공 확률은 0.5입니다.
성공 횟수 (r): 음이항 분포는 r번째 성공에 도달하기까지의 시행 횟수를 다룹니다. 예를 들어, 3번 성공을 얻기 위해 필요한 시행 횟수를 계산합니다.

이제 음이항 분포가 어떻게 작동하는지 실제 예시를 통해 알아보겠습니다.

예시:

어떤 제품을 판매하는 회사가 있습니다. 이 제품의 판매 성공률은 0.2입니다. 회사는 하루에 3번 제품을 판매해야 목표를 달성할 수 있습니다. 이때, 하루에 3번 제품을 판매하기 위해 필요한 시행 횟수를 음이항 분포를 이용하여 계산할 수 있습니다.

* 성공 확률 (p): 0.2
* 성공 횟수 (r): 3

즉, 음이항 분포는 회사가 하루에 3번 제품을 판매하기 위해 몇 번의 시도가 필요할지 예측하는 데 도움을 줄 수 있습니다.

음이항 분포와 기하 분포의 관계

기하 분포는 음이항 분포의 특별한 경우입니다. 기하 분포는 첫 번째 성공을 얻기 위해 필요한 시행 횟수를 나타냅니다. 즉, 음이항 분포에서 성공 횟수 *r*이 1일 때 기하 분포가 됩니다.

결론적으로 음이항 분포는 특정 횟수의 성공을 얻기 위해 필요한 시행 횟수를 나타내는 유용한 도구입니다.
성공이라는 목표를 향해 나아가는 과정에서 필요한 시행 횟수를 계산하고 예측하는 데 도움을 줄 수 있습니다. 음이항 분포를 이해하면, 성공을 위한 여정을 더욱 효과적으로 계획하고 관리할 수 있습니다.

12. 음이항분포(Negative-binomial distribution)

위와 같은 분포를 음이항분포라고 합니다. 확률변수 X는 모수 (r, p)를 갖는 음이항분포를 따른다고 부릅니다. 여기서 중요한 것은 x가 실패 횟수를 나타낸다는 것입니다.

음이항분포는 r번째 성공을 얻을 때까지의 실패 횟수를 나타내는 확률 분포입니다. 예를 들어, 동전 던지기를 할 때 앞면이 나올 때까지 던지는 횟수를 생각해 보세요. 앞면이 나올 때까지 던지는 횟수는 음이항분포를 따릅니다.

음이항분포는 베르누이 시행에서 r번째 성공을 얻을 때까지의 실패 횟수를 모델링하는 데 유용합니다. 베르누이 시행은 각 시행에서 성공 또는 실패의 두 가지 결과만 가능한 시행을 말합니다. 예를 들어, 동전 던지기, 주사위 굴리기, 제품의 품질 검사 등이 베르누이 시행의 예시입니다.

음이항분포에서 r은 성공 횟수를 나타내고, p는 각 시행에서 성공할 확률을 나타냅니다. 따라서 음이항분포는 r과 p의 값에 따라 달라집니다.

음이항분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

$$
P(X = x) = {x + r – 1 \choose x} p^r (1 – p)^x
$$

여기서 ${x + r – 1 \choose x}$는 이항 계수이고, x는 실패 횟수를 나타냅니다.

음이항분포는 다양한 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, 품질 관리에서는 제품의 불량률을 분석하는 데 사용되고, 의학에서는 특정 질병을 가진 환자의 수를 분석하는 데 사용됩니다. 또한 재무에서는 특정 자산의 수익률을 분석하는 데 사용되기도 합니다.

음이항분포는 베르누이 시행에서 r번째 성공을 얻을 때까지의 실패 횟수를 모델링하는 데 유용한 도구입니다. 음이항분포는 다양한 분야에서 사용되며, 데이터 분석에 중요한 역할을 합니다.

음이항 분포는 기하 분포를 일반화한 분포입니다. 기하 분포는 성공 확률이 p인 베르누이 시행에서 처음으로 성공할 때까지의 시행 횟수를 나타냅니다. 음이항 분포는 성공 확률이 p인 베르누이 시행에서 r번 성공할 때까지의 시행 횟수를 나타냅니다. 즉, 기하 분포는 r=1인 특별한 경우의 음이항 분포라고 할 수 있습니다.

예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나올 때까지 던지는 횟수를 나타내는 분포는 기하 분포입니다. 반면, 동전을 던져 앞면이 3번 나올 때까지 던지는 횟수를 나타내는 분포는 음이항 분포입니다.

음이항 분포는 기하 분포와 마찬가지로 성공 확률이 p인 베르누이 시행을 기반으로 합니다. 하지만 기하 분포는 성공할 때까지의 시행 횟수를 나타내는 반면, 음이항 분포는 특정 횟수의 성공을 얻을 때까지의 시행 횟수를 나타냅니다. 이러한 차이점 때문에 음이항 분포는 기하 분포보다 훨씬 다양한 상황에 적용될 수 있습니다.

음이항 분포는 다양한 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, 제품 불량률을 분석하거나, 특정 이벤트가 발생할 때까지의 시간을 예측하거나, 특정 목표를 달성하기 위한 노력을 측정하는 데 사용할 수 있습니다.

음이항 분포는 기하 분포를 일반화한 분포이기 때문에, 기하 분포에 대한 이해는 음이항 분포를 이해하는 데 도움이 됩니다. 기하 분포는 음이항 분포의 특별한 경우이므로, 기하 분포를 먼저 이해하는 것이 음이항 분포를 이해하는 데 더욱 효과적입니다.

음이항 분포는 베르누이 시행을 r번 성공할 때까지 시행하는 경우의 실패 횟수의 분포를 나타냅니다. 즉, 성공 횟수가 고정된 상태에서 실패 횟수를 관찰하는 분포입니다. 예를 들어, 동전을 던져서 앞면이 3번 나올 때까지 던지는 횟수를 생각해 보세요. 이때 앞면이 나올 확률이 p라고 하면 음이항 분포는 앞면이 3번 나올 때까지 던진 횟수 중에서 뒷면이 나온 횟수의 분포를 나타냅니다.

음이항 분포는 성공 확률이 p인 베르누이 시행을 r번 성공할 때까지 시행해야 하는 횟수를 나타내므로, 이 분포는 성공 횟수가 고정된 상태에서 실패 횟수를 관찰하는 분포라는 특징을 가지고 있습니다. 이러한 특징은 성공 확률이 일정하고 실패 횟수가 불확실한 상황에서 유용하게 활용될 수 있습니다.

음이항 분포를 이해하는 데 도움이 되는 예시를 몇 가지 더 들어보겠습니다.

제품 생산 라인에서 불량품이 5개 나올 때까지 제품을 생산하는 횟수를 생각해 보세요. 이때 불량품이 발생할 확률이 p라고 하면 음이항 분포는 불량품이 5개 나올 때까지 생산된 제품 중에서 양품이 나온 횟수의 분포를 나타냅니다.
어떤 질병에 대한 치료제를 개발하기 위해 임상 실험을 진행하는 경우를 생각해 보세요. 임상 실험에서 특정 기준을 만족하는 환자 수를 r이라고 할 때, 음이항 분포는 이 기준을 만족하는 환자 수를 찾기 위해 임상 실험에 참여해야 하는 환자 수를 나타냅니다. 이때 임상 실험에 참여하는 환자가 특정 기준을 만족할 확률이 p라고 하면 음이항 분포는 특정 기준을 만족하는 환자를 찾기 위해 임상 실험에 참여해야 하는 환자 수 중에서 특정 기준을 만족하지 못하는 환자 수의 분포를 나타냅니다.

음이항 분포는 다양한 분야에서 활용되고 있으며, 특히 품질 관리, 의학 연구, 재무 분석 등의 분야에서 중요하게 사용됩니다. 음이항 분포에 대한 이해는 실패 횟수를 기반으로 성공 횟수를 예측하는 데 도움을 줄 수 있으며, 이는 다양한 분야에서 효율적인 의사 결정을 내리는 데 도움이 될 수 있습니다.

이항분포와 음이항분포는 모두 베르누이 시행을 기반으로 하는 확률 분포입니다. 하지만 두 분포는 관심 대상이 다릅니다.

이항분포는 고정된 횟수의 베르누이 시행에서 성공 횟수에 관심이 있습니다. 예를 들어, 동전을 10번 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수를 알고 싶다면 이항분포를 사용합니다.

반면 음이항분포는 고정된 횟수의 성공을 얻기 위해 필요한 시행 횟수에 관심이 있습니다. 예를 들어, 동전을 던져 앞면이 5번 나올 때까지 던져야 하는 횟수를 알고 싶다면 음이항분포를 사용합니다.

음이항분포는 성공 횟수 r과 성공 확률 p를 매개변수로 갖습니다. 음이항분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

“`
P(X = k) = (k – 1)Cr * p^r * (1 – p)^(k – r)
“`

여기서 k는 성공 횟수 r을 얻기 위해 필요한 시행 횟수를 나타냅니다.

음이항분포는 다양한 분야에서 사용됩니다. 예를 들어, 제품의 결함률을 측정하거나, 특정 질병의 발병률을 연구하는 데 사용될 수 있습니다. 또한, 음이항분포는 이항분포와 푸아송 분포와 밀접한 관련이 있습니다. 이항분포는 고정된 시행 횟수에서 성공 횟수를 나타내는 반면, 푸아송 분포는 고정된 시간 또는 공간에서 발생하는 사건의 횟수를 나타냅니다. 음이항분포는 이항분포와 푸아송 분포의 연결 고리를 제공합니다.

음이항 분포는 성공을 거둘 때까지 시행해야 하는 횟수를 나타내는 확률 분포입니다. 이것은 기하 분포의 일반화된 형태이며, 기하 분포는 단 한 번의 성공을 거둘 때까지 시행 횟수를 나타냅니다. 음이항 분포는 성공의 횟수가 고정되어 있지 않고, 성공을 거둘 때까지의 시행 횟수가 고정되어 있는 분포입니다. 예를 들어, 동전을 던져서 앞면이 나올 때까지 던지는 횟수를 생각해 보세요. 이것은 기하 분포의 예입니다. 하지만 앞면이 3번 나올 때까지 동전을 던지는 횟수를 생각해 보세요. 이것은 음이항 분포의 예입니다.

음이항 분포는 다양한 상황에서 유용하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 제품의 품질 검사에서 불량품이 5개 나올 때까지 제품을 검사해야 하는 횟수를 나타내거나, 특정 사건이 발생할 때까지의 시간을 나타낼 수 있습니다. 음이항 분포는 성공 확률, 성공을 거둘 때까지의 시행 횟수, 시행 당 성공 확률 등의 정보를 사용하여 확률을 계산하는 데 도움이 됩니다.

음이항 분포를 이해하기 위해서는 기하 분포와의 차이점을 이해하는 것이 중요합니다. 기하 분포는 성공을 거둘 때까지의 시행 횟수를 나타내는 반면, 음이항 분포는 성공의 횟수가 고정되어 있지 않고, 성공을 거둘 때까지의 시행 횟수가 고정되어 있습니다. 즉, 음이항 분포는 기하 분포를 일반화한 형태라고 할 수 있습니다.

음이항 분포는 성공할 확률이 p인 베르누이 시행을 r번 성공할 때까지 시행하는 경우 실패(시행)횟수의 분포입니다. 즉, 음이항 분포는 특정 횟수의 성공을 달성하기 위해 필요한 실패 횟수를 나타냅니다.

예를 들어, 동전을 던져 앞면이 나올 확률이 p = 0.5이고, 앞면이 3번 나올 때까지 동전을 던지는 경우를 생각해 보겠습니다. 이 경우 음이항 분포는 앞면이 3번 나올 때까지 뒷면이 나오는 횟수를 나타냅니다. 즉, 앞면이 3번 나오기 전에 뒷면이 2번 나오면 음이항 분포의 값은 2가 됩니다.

음이항 분포는 성공 횟수 r과 성공 확률 p에 의해 결정됩니다. 성공 횟수 r이 증가하면 음이항 분포의 평균과 분산도 증가합니다. 성공 확률 p가 증가하면 음이항 분포의 평균과 분산은 감소합니다. 음이항 분포는 다양한 분야에서 사용되며, 특히 성공 확률이 낮은 경우에 유용하게 사용됩니다. 예를 들어, 제품의 결함률, 특정 질병의 발병률, 마케팅 캠페인의 성공률 등을 분석하는 데 사용될 수 있습니다.

음이항 분포는 성공 횟수 r과 성공 확률 p를 알고 있으면 특정 실패 횟수가 발생할 확률을 계산할 수 있습니다. 이는 음이항 분포의 확률 질량 함수를 사용하여 계산할 수 있습니다. 음이항 분포의 확률 질량 함수는 다음과 같습니다.

$$P(X = k) = \binom{k+r-1}{r-1} p^r (1-p)^k$$

여기서 X는 실패 횟수를 나타내고, k는 특정 실패 횟수를 나타냅니다. 위 식을 사용하면 특정 실패 횟수가 발생할 확률을 계산할 수 있습니다. 예를 들어, 앞서 언급한 동전 던지기 예에서 앞면이 3번 나오기 전에 뒷면이 2번 나올 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

$$P(X = 2) = \binom{2+3-1}{3-1} 0.5^3 (1-0.5)^2 = 0.1875$$

이처럼 음이항 분포는 특정 성공 횟수를 달성하기 위해 필요한 실패 횟수를 분석하는 데 유용한 도구입니다.

음이항 분포는 특정 횟수의 성공을 달성하기 위해 필요한 시도 횟수를 나타내는 확률 분포입니다. 즉, 실패가 r번 발생할 때까지 성공이 x번 발생할 확률을 계산하는 데 사용됩니다.

예를 들어, 동전 던지기를 생각해 보세요. 동전을 던져 앞면이 나올 때까지 던지는 횟수를 생각해 봅시다. 이때 앞면이 나오는 것을 성공으로, 뒷면이 나오는 것을 실패로 간주할 수 있습니다. 음이항 분포는 이러한 상황에서 특정 횟수의 뒷면 (실패)을 얻기 위해 던져야 하는 횟수를 나타냅니다.

좀 더 자세히 살펴보면, 음이항 분포는 성공 확률과 실패 횟수라는 두 가지 매개변수를 가지고 있습니다. 성공 확률은 각 시도에서 성공할 확률을 나타내며, 실패 횟수는 실패가 발생해야 하는 횟수를 나타냅니다.

예를 들어, 성공 확률이 0.5이고 실패 횟수가 3이라고 가정해 보겠습니다. 이 경우 음이항 분포는 3번의 실패를 얻기 위해 필요한 시도 횟수를 나타냅니다. 즉, 앞면이 3번 나오기 전까지 던져야 하는 횟수를 나타냅니다.

음이항 분포는 성공과 실패라는 두 가지 결과를 가진 독립적인 시도를 다루는 많은 실제 상황에서 유용하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 다음과 같은 상황에서 음이항 분포를 사용할 수 있습니다.

제품 품질 관리: 특정 수량의 불량품을 발견하기까지 검사해야 하는 제품 수를 나타내는 데 사용할 수 있습니다.
마케팅: 특정 수의 고객이 제품을 구매하기까지 필요한 광고 캠페인 횟수를 나타내는 데 사용할 수 있습니다.
의학: 특정 수의 환자가 치료를 받기까지 필요한 시도 횟수를 나타내는 데 사용할 수 있습니다.

음이항 분포는 이러한 상황에서 특정 횟수의 성공을 얻기 위해 필요한 시도 횟수를 정확하게 예측하는 데 도움을 줄 수 있습니다.

음이항 분포는 일련의 독립적이고 동일한 시행에서 지정된 성공 횟수 R에 도달하기까지의 실패 횟수 x를 모델링합니다. 이 분포는 도수 데이터를 모델링할 수 있으며, 특히 성공 확률이 낮은 경우에 유용합니다.

예를 들어, 특정 제품의 결함률을 조사하고자 할 때, 제품 10개를 검사하여 3개의 결함 제품을 발견했다고 가정해 보겠습니다. 이 경우, 음이항 분포를 사용하여 3개의 결함 제품을 발견하기까지 7개의 양품을 검사할 확률을 계산할 수 있습니다.

MATLAB에서 음이항 분포를 사용하려면 nbindist 함수를 사용할 수 있습니다. 이 함수는 음이항 분포의 확률 질량 함수를 계산합니다. 예를 들어, 3개의 결함 제품을 발견하기까지 7개의 양품을 검사할 확률을 계산하려면 다음과 같이 입력합니다.

“`matlab
p = 0.3; % 결함 제품의 확률
r = 3; % 성공 횟수 (결함 제품)
x = 7; % 실패 횟수 (양품)
prob = nbindist(x,r,p)
“`

이 코드는 0.0504의 확률을 반환합니다. 즉, 3개의 결함 제품을 발견하기까지 7개의 양품을 검사할 확률은 5.04%입니다.

음이항 분포는 다양한 분야에서 유용하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 품질 관리, 신뢰성 분석, 생물 통계학, 금융 등에서 사용됩니다.

음이항 분포의 특징

성공 횟수 (R): 성공 횟수는 고정된 값입니다.
실패 횟수 (x): 실패 횟수는 확률 변수입니다.
성공 확률 (p): 성공 확률은 각 시행에서 일정합니다.

음이항 분포를 사용할 때의 주의 사항

독립성: 시행은 서로 독립적이어야 합니다.
동일한 확률: 각 시행에서 성공 확률은 동일해야 합니다.
성공 횟수: 성공 횟수는 고정된 값이어야 합니다.

요약

음이항 분포는 특정 횟수의 성공을 달성하기까지의 실패 횟수를 모델링하는 데 유용한 도구입니다. MATLAB에서 nbindist 함수를 사용하여 음이항 분포의 확률 질량 함수를 계산할 수 있습니다.

음이항분포의 적률생성함수(m.g.f)를 구할 때, exp(tx)를 exp(tr)과 exp(t(x-r))로 나누는 과정이 핵심입니다. 이 과정을 통해 음이항분포의 형태로 변형시킬 수 있기 때문입니다.

exp(t)-p*exp(t)는 음이항분포의 적률생성함수에서 중요한 역할을 합니다. 이 부분은 (1-p)와 exp(t)의 곱으로 표현될 수 있으며, 이는 음이항분포의 확률질량함수에서 (1-p)가 성공 확률, exp(t)가 실패 확률을 나타내기 때문입니다.

즉, exp(t)-p*exp(t)는 성공 확률과 실패 확률의 조합을 나타내는 것입니다. 이를 통해 음이항분포의 적률생성함수를 구할 수 있고, 이를 통해 음이항분포의 평균, 분산 등 다양한 통계적 특성을 파악할 수 있습니다.

음이항분포의 적률생성함수는 exp(tr)/(1-p*exp(t))^r로 표현됩니다. 여기서 r은 성공 횟수, p는 성공 확률, t는 적률생성함수의 매개변수입니다. 이 함수는 음이항분포의 특성을 반영하여, 성공 횟수와 성공 확률을 고려하여 적률생성함수를 계산합니다.

exp(tx)를 exp(tr)과 exp(t(x-r))로 분리하는 과정은 음이항분포의 확률질량함수를 변형하는 과정과 밀접한 관련이 있습니다. 음이항분포의 확률질량함수는 성공 횟수와 실패 횟수의 조합을 고려하여 계산됩니다. 이를 적률생성함수에 적용하면 exp(tr)는 성공 횟수를 나타내는 부분이고, exp(t(x-r))는 실패 횟수를 나타내는 부분이 됩니다.

이러한 변형 과정을 통해 음이항분포의 적률생성함수를 간단하게 표현할 수 있으며, 이를 통해 음이항분포의 평균, 분산, 왜도, 첨도 등 다양한 통계적 특성을 쉽게 계산할 수 있습니다.